Не могу найти ошибку в моем индуктивном шаге

Несколько дней назад я решал некоторые индукционные execises, и я пытался решить этот.

Заявление

Что плохого в этом «доказательстве»?

«Теорема» для каждого положительного целого числа n, если x и y-положительные целые числа с max(x, y) = n, то x = y.

Базисный шаг: предположим, что n = 1. Если max (x, y) = 1 и x и y-положительные целые числа, то имеем x = 1 и y = 1.

Индуктивный шаг: пусть k-положительное целое число. Предположим, что если max (x, y) = k и x и y-положительные целые числа, то x = y. Теперь пусть max (x, y) = k + 1, где x и y-положительные целые числа. Тогда max (x − 1, y − 1) = k, поэтому по индуктивной гипотезе x − 1 = y − 1. Отсюда следует, что x = y, завершая индуктивный шаг.

Решение, взятое из оригинальной книги

Ошибка в применении
индуктивная гипотеза, чтобы посмотреть на max (x − 1, y − 1), потому что
несмотря на то, что x и y-положительные целые числа, x − 1 и y-1
не обязательно быть (один или оба могут быть 0)

Теперь мой вопрос

После решения задачи я написал свой собственный индуктивный шаг, предполагая ту же гипотезу. Я сделал это просто ради удовольствия, но теперь, даже зная, что мой индуктивный шаг неверен, я не могу найти ошибку. Мне нужно знать, что неправильно в моем индуктивном шаге и почему.

Мой индуктивный шаг

Индуктивный шаг: пусть k-положительное целое число. Предположим, что если max (x, y) = k и x и y-положительные целые числа, то x = y. Так как max (x, y) = k и x и y-положительные целые числа с x = y, I плюс 1 к x и y. Тогда max (x + 1, y + 1) = k + 1. Из этого следует, что x + 1 = y + 1, поскольку x = y, выполняя индуктивный шаг.

2 ответа

  1. Вывод вашего индуктивного шага не соответствует исходной теореме.

    Теорема говорит, что для данного n, это случай, что для всех положительных целых чисел x, y с max(x, y) = n, x должно быть равно y.

    Ваш индуктивный шаг дает только max (x+1, y+1) = n (с n = k+1). Но не все положительные целые числа имеют вид x+1 (причем x также является положительным целым числом): 1 является контрпример. Поэтому ваше доказательство не покрывает все возможные значения x и y.